O16-C051
> restart;
> f:=exp(-1/x);

                           f := exp(- 1/x)

> p:=n->simplify(x^(2*n)*exp(1/x)*diff(f,x$n));

                              (2 n)
          p := n -> simplify(x      exp(1/x) diff(f, x $ n))

> seq(p(n),n=1..10);# degré=n-1 , coeff dominant=((-1)^(n-1))n!

                  2                 3       2
  1, -2 x + 1, 6 x  - 6 x + 1, -24 x  + 36 x  - 12 x + 1,

             4        3        2
        120 x  - 240 x  + 120 x  - 20 x + 1,

              5         4         3        2
        -720 x  + 1800 x  - 1200 x  + 300 x  - 30 x + 1,

              6          5          4         3        2
        5040 x  - 15120 x  + 12600 x  - 4200 x  + 630 x  - 42 x + 1,

                7           6           5          4          3
        -40320 x  + 141120 x  - 141120 x  + 58800 x  - 11760 x

                 2                     8            7            6
         + 1176 x  - 56 x + 1, 362880 x  - 1451520 x  + 1693440 x

                   5           4          3         2
         - 846720 x  + 211680 x  - 28224 x  + 2016 x  - 72 x + 1,

                  9             8             7             6
        -3628800 x  + 16329600 x  - 21772800 x  + 12700800 x

                    5           4          3         2
         - 3810240 x  + 635040 x  - 60480 x  + 3240 x  - 90 x + 1

> plot([seq(p(n),n=3..5)],x=0..1.2);

> # Conjecture : p(n) a n racines réelles distinctes x(n,k) dans ]0;+infinity[, séparées par n-1 racines d(n,k) de sa dérivée.
> # Hérédité : p(n+1)=x^2 (p(n))'+p(n)-2nx p(n) donc en x(n,k), p(n+1) a le même signe que (p(n))', p(n)=1 en 0 et en +infinity, lim p(n+1)=-lim p(n) d'où n+1 changements de signe pour p(n+1)
> # (x_n) est décroissante minorée donc a une limite l. Si l>0, f a un DSE sur [0,l[ ce qui est faux, donc l=0