O16-C046
> restart;
> # Si N>=M, alors x^4+y^4 >=M^4 et (x-y)^2 <=4M^2 et lim(M^4-8M^2)=infinity
> g:=(x,y)->x^4+y^4-2*(x-y)^2;

                                 4    4            2
                 g := (x, y) -> x  + y  - 2 (x - y)

> d1:=plot3d(g(x,y),x=-2..2,y=-2..2):
> plantang:=(a,b)->g(a,b)+4*(a^3-a+b)*(x-a)+4*(b^3+a-b)*(y-b);

  plantang := (a, b) ->

                      3                        3
        g(a, b) + 4 (a  - a + b) (x - a) + 4 (b  + a - b) (y - b)

> d2:=plot3d(plantang(1,2),x=0..2,y=1..2):d3:=plot3d(plantang(sqrt(2),-sqrt(2)),x=1..2,y=-2..-1):# d3 : un plan tangent horizontal
> with(plots):display3d({d1,d2,d3});

> sys:={diff(g(x,y),x),diff(g(x,y),y)};

                        3                 3
             sys := {4 x  - 4 x + 4 y, 4 y  + 4 x - 4 y}

> solve(sys);

  {y = 0, x = 0}, {y = 0, x = 0}, {y = 0, x = 0},

                           2                      2
        {y = RootOf(-2 + _Z ), x = -RootOf(-2 + _Z )}, {

                             2               2
        y = RootOf(-RootOf(_Z  + _Z + 1) + _Z  - 1), x =

                          2               2               2
        -RootOf(-RootOf(_Z  + _Z + 1) + _Z  - 1) RootOf(_Z  + _Z + 1)

        }

> mini:=allvalues({y = RootOf(-2+_Z^2), x = -RootOf(-2+_Z^2)});

   mini := {y = sqrt(2), x = -sqrt(2)}, {y = -sqrt(2), x = sqrt(2)}

> # g est minorée sur B(0,A) et son complémentaire donc sur R^2 et l'inf est un min (car c'est l'inf sur un compact d'une fonction continue)
> subs([mini][1],g(x,y));# Le minimum

                                  -8

>