O15-C923 > restart: > # H_12 est de dimension 13. Plus généralement, H_n est de dimension n+1 > F:=proc(n,x,y,a) > sum(a[i+1]*x^i*y^(n-i),i=0..n);end; F := proc(n, x, y, a) sum(a[i + 1]*x^i*y^(n - i), i = 0 .. n) end > h3:=F(3,x,y,a);eq3:=sort(diff(h3,x$2)+diff(h3,y$2),y);# Un polynôme homogène de degré 3 et son Laplacien 3 2 2 3 h3 := a[1] y + a[2] x y + a[3] x y + a[4] x eq3 := 2 a[3] y + 6 a[1] y + 6 a[4] x + 2 a[2] x > pb3:={coeffs(eq3,x)};s3:=[solve(pb3,{seq(a[i],i=1..4)})];# CNS pour qu'un polynôme homogène de degré 3 soit harmonique pb3 := {2 a[3] y + 6 a[1] y, 6 a[4] + 2 a[2]} s3 := [{a[2] = -3 a[4], a[1] = a[1], a[4] = a[4], a[3] = -3 a[1]}] > g3:=subs(op(s3),h3);# Solution générale 3 2 2 3 g3 := a[1] y - 3 a[4] x y - 3 a[1] x y + a[4] x > k3:=collect(g3,{a[4],a[1]});b1:=op(1,op(1,k3));b2:=op(1,op(2,k3));# (b_1,b_2) est une base de l'ensemble des solutions 3 2 2 3 k3 := (y - 3 x y) a[1] + (-3 x y + x ) a[4] 3 2 b1 := y - 3 x y 2 3 b2 := -3 x y + x > # Et on généralise > n:=12:h:=F(n,x,y,a);eq:=sort(diff(h,x$2)+diff(h,y$2),y); 12 11 2 10 3 9 4 8 h := a[1] y + a[2] x y + a[3] x y + a[4] x y + a[5] x y 5 7 6 6 7 5 8 4 + a[6] x y + a[7] x y + a[8] x y + a[9] x y 9 3 10 2 11 12 + a[10] x y + a[11] x y + a[12] x y + a[13] x 10 10 9 9 eq := 2 a[3] y + 132 a[1] y + 6 a[4] x y + 110 a[2] x y 2 8 2 8 3 7 + 12 a[5] x y + 90 a[3] x y + 72 a[4] x y 3 7 4 6 4 6 + 20 a[6] x y + 30 a[7] x y + 56 a[5] x y 5 5 5 5 6 4 + 42 a[8] x y + 42 a[6] x y + 56 a[9] x y 6 4 7 3 7 3 + 30 a[7] x y + 20 a[8] x y + 72 a[10] x y 8 2 8 2 9 + 90 a[11] x y + 12 a[9] x y + 110 a[12] x y 9 10 10 + 6 a[10] x y + 132 a[13] x + 2 a[11] x > > pb:={coeffs(eq,x)}; 7 7 6 6 pb := {72 a[4] y + 20 a[6] y , 30 a[7] y + 56 a[5] y , 5 5 4 4 42 a[8] y + 42 a[6] y , 30 a[7] y + 56 a[9] y , 10 10 2 2 132 a[1] y + 2 a[3] y , 90 a[11] y + 12 a[9] y , 3 3 9 9 20 a[8] y + 72 a[10] y , 6 a[4] y + 110 a[2] y , 110 a[12] y + 6 a[10] y, 132 a[13] + 2 a[11], 8 8 12 a[5] y + 90 a[3] y } > s:=[solve(pb,{seq(a[i],i=1..n+1)})]; s := [{a[1] = a[1], a[8] = -66 a[2], a[3] = -66 a[1], a[4] = - 55/3 a[2], a[6] = 66 a[2], a[13] = a[1], a[2] = a[2], a[11] = -66 a[1], a[12] = -a[2], a[10] = 55/3 a[2], a[9] = 495 a[1], a[5] = 495 a[1], a[7] = -924 a[1]}] > g:=subs(op(s),h); 12 11 2 10 3 9 g := a[1] y + a[2] x y - 66 a[1] x y - 55/3 a[2] x y 4 8 5 7 6 6 + 495 a[1] x y + 66 a[2] x y - 924 a[1] x y 7 5 8 4 9 3 - 66 a[2] x y + 495 a[1] x y + 55/3 a[2] x y 10 2 11 12 - 66 a[1] x y - a[2] x y + a[1] x > k:=collect(g,{a[2],a[1]}); 12 2 10 4 8 6 6 8 4 k := (y - 66 x y + 495 x y - 924 x y + 495 x y 10 2 12 - 66 x y + x ) a[1] + ( 11 3 9 5 7 7 5 9 3 11 x y - 55/3 x y + 66 x y - 66 x y + 55/3 x y - x y ) a[2] > op(1,op(1,k));op(1,op(2,k)); 12 2 10 4 8 6 6 8 4 10 2 y - 66 x y + 495 x y - 924 x y + 495 x y - 66 x y 12 + x 11 3 9 5 7 7 5 9 3 11 x y - 55/3 x y + 66 x y - 66 x y + 55/3 x y - x y >