O15-C921
> restart:
> f:=(n,x)->1/(n^2+x^2);

                                          1
                        f := (n, x) -> -------
                                        2    2
                                       n  + x

> spart:=j->sum(f(n,x),n=1..5*j);

                                    5 j
                                   -----
                                    \
                     spart := j ->   )   f(n, x)
                                    /
                                   -----
                                   n = 1

> plot([seq(spart(j),j=1..10)],x=0..10);

> derivee:=sum(diff(f(n,x),x),n=1..infinity);

                 Psi(1, 1 - I x)       Psi(1, 1 + I x)
  derivee := 1/2 --------------- + 1/2 ---------------
                        x                     x

               I Psi(1 - I x)       I Psi(1 + I x)
         - 1/2 -------------- + 1/2 --------------
                      2                    2
                     x                    x

> plot([seq(Pi/2/x^a-spart(153),a=1..3)],x=50..100,color=[red,blue,green]);# a=1 est la meilleure valeur

> # Preuve : encadrer f_n(x) par des intégrales

> sum(f(n,x),n=1..infinity);sum(f(n,0),n=1..infinity);

                   I Psi(1 - I x)       I Psi(1 + I x)
               1/2 -------------- - 1/2 --------------
                         x                    x


                                     2
                               1/6 Pi

>