O15-C920
PV est le projecteur orthogonal sur la droite engendrée par V.

> restart:with(linalg):
Warning, new definition for norm
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> v:=matrix(3,1,[a,b,c]);

                                    [a]
                                    [ ]
                               v := [b]
                                    [ ]
                                    [c]

> pro:=proc(v,n)
> evalm(v&*transpose(v)/(norm(col(v,1),2))^2);end;

  pro := proc(v, n)
    evalm(v `&*` transpose(v)/norm(col(v, 1), 2)^2)
end

> m:=pro(v,3);symetrie:=evalm(2*m-diag(1$3));

                          [  2                 ]
                          [ a      a b     a c ]
                          [----    ---     --- ]
                          [ %1     %1      %1  ]
                          [                    ]
                          [          2         ]
                     m := [a b      b      b c ]
                          [---     ----    --- ]
                          [%1       %1     %1  ]
                          [                    ]
                          [                  2 ]
                          [a c     b c      c  ]
                          [---     ---     ----]
                          [%1      %1       %1 ]

                                 2        2        2
                      %1 := | a |  + | b |  + | c |


                     [    2                                 ]
                     [   a              a b           a c   ]
                     [2 ---- - 1      2 ---         2 ---   ]
                     [   %1             %1            %1    ]
                     [                                      ]
                     [                  2                   ]
         symetrie := [    a b          b              b c   ]
                     [  2 ---       2 ---- - 1      2 ---   ]
                     [    %1           %1             %1    ]
                     [                                      ]
                     [                                2     ]
                     [    a c           b c          c      ]
                     [  2 ---         2 ---       2 ---- - 1]
                     [    %1            %1           %1     ]

                                 2        2        2
                      %1 := | a |  + | b |  + | c |

> nullspace(m);colspace(m);

                    {[- c/a, 0, 1], [- b/a, 1, 0]}


                           {[1, b/a, c/a]}

Le projecteur orthogonal sur F est la somme des projecteurs orthogonaux sur les p droites engendrées par les Vk :
> truc:=proc(L,p)
> local res,k,m;
> res:=matrix(n,n,0);
> for k from 1 to p do m:=transpose(matrix(1,n,col(L,k)));res:=evalm(res+pro(m,n)) od;
> res;end:
> n:=5:L:=matrix(5,3,[1,1,1,1,2,-1,1,0,3,0,4,0,3,-1,-1]);

                              [1     1     1]
                              [             ]
                              [1     2    -1]
                              [             ]
                         L := [1     0     3]
                              [             ]
                              [0     4     0]
                              [             ]
                              [3    -1    -1]

> pp:=truc(L,3);print(pp);

                              pp := res


                [7/33    1/11    1/3     2/11    4/33]
                [                                    ]
                [         23                         ]
                [1/11     --     -1/6    4/11    8/33]
                [         66                         ]
                [                                    ]
                [1/3     -1/6    5/6      0       0  ]
                [                                    ]
                [                                 -2 ]
                [2/11    4/11     0      8/11     -- ]
                [                                 11 ]
                [                                    ]
                [                         -2      29 ]
                [4/33    8/33     0       --      -- ]
                [                         11      33 ]

Un vecteur est dans F ssi il est invariant par le projecteur orthogonal sur F, donc on obtient un ensemble d' équations de F en prenant les lignes de la matrice pp-Id.
> proj:=proc(L,p)
> local pp;
> pp:=truc(L,p);
> rowspace(evalm(pp-diag(1$n)));
> end:
> proj(L,3);

                                    [            -3      ]
          {[0, 1, 1/5, -3/5, -2/5], [1, 0, -2/5, --, -1/5]}
                                    [            10      ]

>