O15-C916
> restart:
> # C'est une famille d'ellipse tangentes en O à l'axe Oy 
> cste:=(3*x^2+(y(x))^2)/2/x;simplify(diff(cste,x));# C'est une EDO dont les courbes Gamma_lambda sont les solutions

                                      2       2
                                   3 x  + y(x)
                       cste := 1/2 ------------
                                        x


                         2            /d      \       2
                     -3 x  - 2 x y(x) |-- y(x)| + y(x)
                                      \dx     /
               - 1/2 ----------------------------------
                                      2
                                     x

> # Pour les courbes orthogonales, on remplace dy/dx par -dx/dy
> ed:=diff(y(x),x)-2*x*y(x)/(3*x^2-(y(x))^2);

                         /d      \        x y(x)
                   ed := |-- y(x)| - 2 ------------
                         \dx     /        2       2
                                       3 x  - y(x)

> edd:=diff(y(x),x)*(3*x^2-(y(x))^2)-2*x*y(x);

                     /d      \     2       2
              edd := |-- y(x)| (3 x  - y(x) ) - 2 x y(x)
                     \dx     /

> with(DEtools):
> soll:=dsolve({edd,y(0)=1},y(x)):c1:=subs(soll[1],y(x));

                   2                   4       2  (1/3)
  c1 := 1/6 (-108 x  + 8 + 12 sqrt(81 x  - 12 x ))

                                    1
         + 2/3 ------------------------------------------- + 1/3
                      2                   4       2  (1/3)
               (-108 x  + 8 + 12 sqrt(81 x  - 12 x ))

> plot(Re(c1),x=0.3..8);evalf(subs(x=8,c1));


                     2.346454854 - 3.438697639 I

> DEplot(edd,y(x),x=2..6,[[y(1)=1]],stepsize=.0006);

> DEplot(edd,y(x),x=2..6,[seq([y(1)=k/4],k=1..6)],stepsize=.0006);

>  
> cbe2:=a->[t*sqrt(a*t+1),t,t=-4..4];cbe3:=a->[-t*sqrt(a*t+1),t,t=-4..4];

            cbe2 := a -> [t sqrt(a t + 1), t, t = -4 .. 4]


           cbe3 := a -> [-t sqrt(a t + 1), t, t = -4 .. 4]

> d2:=plot({seq(cbe2(exp(0.1*k)),k=-10..10),seq(cbe3(exp(0.1*k)),k=-10..10),seq(cbe2(-exp(0.1*k)),k=-10..10),seq(cbe3(-exp(0.1*k)),k=-10..10)},x=-4..4,y=-4..4):# Pour dessiner les courbes C
> cbe1:=b->[b/3+b*cos(t)/3,b*sin(t)/sqrt(3),t=-Pi..Pi];

                                         b sin(t)
     cbe1 := b -> [1/3 b + 1/3 b cos(t), --------, t = -Pi .. Pi]
                                         sqrt(3)

> d1:=plot({seq(cbe1(.5*k),k=-10..10)},-4..4,-4..4):# Pour dessiner les ellipses
> with(plots):display([d2,d1]);

>