O15-C913
d(n) vérifie la relation de récurrence d(n)=a.d(n-1)+d(n-2)
Les sev propres de uM sont orthogonaux pour le produit scalaire hermitien.
Les valeurs propres de A-aI sont imaginaires pures donc les images des valeurs propres de A sont alignées sur la droite Re(z)=a.

> restart:with(linalg):
Warning, new definition for norm
Warning, new definition for trace
> m:=proc(n,a)
> local res,k;
> res:=matrix(n,n,0);
> for k from 1 to n-1 do res[k,k]:=a;res[k,k+1]:=-1;res[k+1,k]:=1 od;
> res[n,n]:=a;
> res;end;

  m := proc(n, a)
local res, k;
    res := matrix(n, n, 0);
    for k to n - 1 do
        res[k, k] := a;
        res[k, k + 1] := -1;
        res[k + 1, k] := 1
    od;
    res[n, n] := a;
    res
end

> for n from 2 to 7 do charpoly(m(n,a),X);det(m(n,a)) od;

                          2            2
                         X  - 2 X a + a  + 1


                                 2
                                a  + 1


                 3      2          2          3
                X  - 3 X  a + 3 X a  + 2 X - a  - 2 a


                                3
                               a  + 2 a


     4      3        2  2      2        3            4      2
    X  - 4 X  a + 6 X  a  + 3 X  - 4 X a  - 6 X a + a  + 3 a  + 1


                             4      2
                            a  + 3 a  + 1


   5      4         3  2      3       2  3       2          4
  X  - 5 X  a + 10 X  a  + 4 X  - 10 X  a  - 12 X  a + 5 X a

                 2          5      3
         + 12 X a  + 3 X - a  - 4 a  - 3 a


                            5      3
                           a  + 4 a  + 3 a


         2               2      4       3         2  2         3
  1 + 6 X  - 12 X a + 6 a  + 5 X  - 20 X  a + 30 X  a  - 20 X a

              4    6      5         4  2       3  3       2  4
         + 5 a  + X  - 6 X  a + 15 X  a  - 20 X  a  + 15 X  a

                5    6
         - 6 X a  + a


                                2      4    6
                         1 + 6 a  + 5 a  + a


      6         5  2       4  3       3  4       2  5        6    7
  -7 X  a + 21 X  a  - 35 X  a  + 35 X  a  - 21 X  a  + 7 X a  + X

            7                   2           2       3       3
         - a  - 4 a + 4 X - 30 X  a + 30 X a  + 10 X  - 10 a

               4         3  2       2  3         4      5      5
         - 30 X  a + 60 X  a  - 60 X  a  + 30 X a  + 6 X  - 6 a


                                 3      5    7
                       4 a + 10 a  + 6 a  + a

> for n from 2 to 5 do eigenvals(m(n,a)) od;

                            I + a, -I + a


                   a, I sqrt(2) + a, -I sqrt(2) + a


  a + 1/2 I sqrt(5) - 1/2 I, a - 1/2 I sqrt(5) + 1/2 I,

        a + 1/2 I + 1/2 I sqrt(5), a - 1/2 I - 1/2 I sqrt(5)


           a, -I + a, I + a, -I sqrt(3) + a, I sqrt(3) + a

>