O14-929
> restart;with(plots):
> f:=(x,y)->x*y/(1+exp(x^2+2*y^2));

                                        x y
                  f := (x, y) -> ------------------
                                          2      2
                                 1 + exp(x  + 2 y )

> plot3d(f(x,y),x=0.799..0.8005,y=0.565..0.566,grid=[100,100]);

Méthode 1
> # En elliptiques, avec x=r cos t , y=1/sqrt(2) r sin t, f(x,y)=1/2sqrt(2) sin(2t) r^2/(1+e^(r^2)) donc on cherche à maximiser sin(2t) et r^2/(1+e^(r^2))
> # Pour sin(2t) : t=Pi/4 (mod Pi)
> a:=s/(1+exp(s));plot(a,s=1.27..1.29);maximize(a);evalf(%/2/sqrt(2));

                                    s
                           a := ----------
                                1 + exp(s)



                        LambertW(exp(-1)) + 1
                    ------------------------------
                    1 + exp(LambertW(exp(-1)) + 1)


                             .09845208320

Méthode 2
> h:=[solve(diff(f(x,y),y),x)];

                   2              2              2              2
 h := [0, sqrt(-2 y  - ln(-1 + 4 y )), -sqrt(-2 y  - ln(-1 + 4 y ))]


           /    2          1     \1/2   /    2          1     \1/2
  h := [0, |-2 y  + ln(---------)|   , -|-2 y  + ln(---------)|   ]
           |                   2 |      |                   2 |
           \           -1 + 4 y  /      \           -1 + 4 y  /

> k:=subs(x=op(2,h),f(x,y));

                                2              2
                       sqrt(-2 y  - ln(-1 + 4 y )) y
                  k := -----------------------------
                                              2
                          1 + exp(-ln(-1 + 4 y ))

> plot(k,y=0.55 ..0.58);

> 
> l:=diff(k,y);n:=[solve(l)];m:=subs(y=op(3,n),k);

                       /             y    \
                     y |-4 y - 8 ---------|
                       |                 2|
                       \         -1 + 4 y /
  l := 1/2 -------------------------------------------
                    2              2   /        1    \
           sqrt(-2 y  - ln(-1 + 4 y )) |1 + ---------|
                                       |            2|
                                       \    -1 + 4 y /

                    2              2
           sqrt(-2 y  - ln(-1 + 4 y ))
         + ---------------------------
                          1
                  1 + ---------
                              2
                      -1 + 4 y

                      2              2    2
             sqrt(-2 y  - ln(-1 + 4 y )) y
         + 8 ------------------------------
             /        1    \2          2 2
             |1 + ---------|  (-1 + 4 y )
             |            2|
             \    -1 + 4 y /


  n := [1/2 I, - 1/2 I, 1/2 sqrt(LambertW(exp(-1)) + 1),

        - 1/2 sqrt(LambertW(exp(-1)) + 1)]


  m := 1/2 sqrt(-1/2 - 1/2 LambertW(exp(-1)) - ln(LambertW(exp(-1))))

                                    /            1        \
        sqrt(LambertW(exp(-1)) + 1)/|1 + -----------------|
                                    \    LambertW(exp(-1))/

> evalf(m);

                             .09845208330

>