O14-926
> restart:
> a:=n->2*sqrt(n)-sum(1/sqrt(k),k=1..n);

                                      /  n          \
                                      |-----        |
                                      | \       1   |
                a := n -> 2 sqrt(n) - |  )   -------|
                                      | /    sqrt(k)|
                                      |-----        |
                                      \k = 1        /

> limit(a(n),n=infinity);

                              -Zeta(1/2)

> b:=n->2*sqrt(n)-2*sqrt(n-1)-1/sqrt(n);# Ainsi a_n est la somme partielle d'ordre n de la série de TG b_n et L-a_n est le reste d'ordre n de la série de TG b_n

                                                     1
            b := n -> 2 sqrt(n) - 2 sqrt(n - 1) - -------
                                                  sqrt(n)

> c:=series(b(n),n=infinity,2);

                               (3/2)          (5/2)
                 c := 1/4 (1/n)      + O((1/n)     )

> d:=convert(c,polynom);# Un équivalent de b_n

                                       (3/2)
                         d := 1/4 (1/n)

> e:=p->sum(d,n=p+1..infinity);series(e(p),p=infinity,2);# Le reste d'ordre n de la série de TG d, ie un équivalent du reste d'ordre n de la série de TG b_n, ie de L-a_n

                                  infinity
                                    -----
                                     \
                        e := p ->     )     d
                                     /
                                    -----
                                  n = p + 1

> # Et on retrouve le résultat en encadrant d par des intégrales