O14-922
> restart:
> p:=matrix(2,2,[1/2,-1/2,-1/2,1/2]);

                              [1/2     -1/2]
                         p := [            ]
                              [-1/2    1/2 ]

> g:=matrix(2,2,[0,-2,2,0]);

                                 [0    -2]
                            g := [       ]
                                 [2     0]

> evalm(g&*p);evalm(p&*p);
> 

                              [1    -1]
                              [       ]
                              [1    -1]


                            [1/2     -1/2]
                            [            ]
                            [-1/2    1/2 ]

> Parabole:=x^2+y^2-2*x*y+6*x-10*y+9;# C'est une parabole d'axe parallèle à x^2+y^2-2*x*y=0, ie la droite y=x.

                          2    2
             Parabole := x  + y  - 2 x y + 6 x - 10 y + 9

> with(plots):implicitplot(Parabole,x=-8..3,y=-1..10);

> assume(x,real,y,real):vectTangent:=vector([-2*y+2*x+10,2*x-2*y+6]);

         vectTangent := [-2 y~ + 2 x~ + 10, 2 x~ - 2 y~ + 6]

> with(linalg):syst:={dotprod([1,1],vectTangent),Parabole};# La tangente au sommet est perpendiculaire à l'axe
Warning, new definition for norm
Warning, new definition for trace

            2     2
 syst := {x~  + y~  - 2 x~ y~ + 6 x~ - 10 y~ + 9, -4 y~ + 4 x~ + 16}

> solve(syst);# C'est le sommet

                        {y~ = 1/4, x~ = -15/4}

> AutreParabole:=simplify(subs(x=-(15)/4+x1*sqrt(2)/2-y1*sqrt(2)/2,y=1/4+x1*sqrt(2)/2+y1*sqrt(2)/2,Parabole));# L'origine est au sommet et l'axe x_1 est l'axe de la parabole

                                                     2
                AutreParabole := -2 x1 sqrt(2) + 2 y1

> Foyer:=[-(15)/4+1/4,1/4+1/4];#paramètre : 1/2/sqrt(2)

                         Foyer := [-7/2, 1/2]

> A12:=solve({Parabole,x});#Intersections avec l'axe Oy

              A12 := {x~ = 0, y~ = 1}, {x~ = 0, y~ = 9}

> Tang1:=subs(A12[1],eval(vectTangent));Tang2:=subs(A12[2],eval(vectTangent));#Vecteurs tangents en ces points

                           Tang1 := [8, 4]


                          Tang2 := [-8, -12]

> A1:=solve({0=-(15)/4+x1*sqrt(2)/2-y1*sqrt(2)/2,1=1/4+x1*sqrt(2)/2+y1*sqrt(2)/2});A2:=solve({0=-(15)/4+x1*sqrt(2)/2-y1*sqrt(2)/2,9=1/4+x1*sqrt(2)/2+y1*sqrt(2)/2});#Les mêmes points dans le nouveau repère

             A1 := {y1 = - 3/2 sqrt(2), x1 = 9/4 sqrt(2)}


             A2 := {x1 = 25/4 sqrt(2), y1 = 5/2 sqrt(2)}

> a:=subs(A1,y1);b:=subs(A2,y1);#Les ordonnées de ces points

                          a := - 3/2 sqrt(2)


                           b := 5/2 sqrt(2)

> Longueur:=int(sqrt(1+8*y1^2),y1=a..b);#ds/dy1=sqrt(1+(dx1/dy1)^2)

  Longueur := 5/4 sqrt(101) sqrt(2) + 1/8 sqrt(2) ln(10 + sqrt(101))

         + 3/4 sqrt(37) sqrt(2) - 1/8 sqrt(2) ln(-6 + sqrt(37))

> evalf(Longueur);

                             25.18808650

>