> restart;
O14-918
> u:=(t,n)->product(1+k*t/n^2,k=1..n);

                                    n
                                 --------'
                                '  |  |    /    k t\
                 u := (t, n) ->    |  |    |1 + ---|
                                   |  |    |     2 |
                                   |  |    \    n  /
                                  k = 1

> dessin1:=plot([[seq([n,u(2,n)],n=2..15)],[seq([n,u(3,n)],n=2..15)]],0..15,style=point,color=[red,green]):dessin2:=plot([exp(1),exp(3/2)],0..15,color=[brown,blue]):
> with(plots):display([dessin1,dessin2]);

ln(u(t,n)) est le TG d'une suite convergente de limite f '(0)/2 avec f(x)=ln(1+tx)
Si t=a+ib est complexe , on étudie v(t,n)=|u(t,n)| et w(t,n)=Arg(u(t,n))
ln(v(t,n)) est le TG d'une suite convergente de limite g '(0)/2 avec g(x)=ln((1+ax)^2+b^2x^2)/2
w(t,n) est le TG d'une suite convergente de limite h '(0)/2 avec h(x)=arctan(bx/(1+ax))
> g:=(a,b)->ln((1+a*x)^2+b^2*x^2)/2;diff(g(a,b),x)/2;subs(x=0,%);

                                             2    2  2
              g := (a, b) -> 1/2 ln((1 + a x)  + b  x )


                                             2
                          2 (1 + a x) a + 2 b  x
                      1/4 ----------------------
                                     2    2  2
                            (1 + a x)  + b  x


                                1/2 a

> h:=(a,b)->arctan(b*x/(1+a*x));diff(h(a,b),x)/2;subs(x=0,%);

                                            b x
                    h := (a, b) -> arctan(-------)
                                          1 + a x


                              b        b x a
                           ------- - ----------
                           1 + a x            2
                                     (1 + a x)
                       1/2 --------------------
                                     2  2
                                    b  x
                              1 + ----------
                                           2
                                  (1 + a x)


                                1/2 b

> a:=2:b:=2:evalf(abs(exp((a+I*b)/2)-u(a+I*b,40)));

                             .07071195189