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O14-902
> restart:with(linalg):
Warning, new definition for norm
Warning, new definition for trace
> x:=t->(1-t^2)/(1+t^2);y:=t->t*(1-t^2)/(1+t^2);

                                          2
                                     1 - t
                           x := t -> ------
                                          2
                                     1 + t


                                           2
                                   t (1 - t )
                         y := t -> ----------
                                          2
                                     1 + t


> plot([x(t),y(t),t=-5..5],scaling=constrained);


> e:=op(2,simplify(subs(t=y/x,x(t))-x));# Equation cartésienne

                             2    2    3      2
                      e := -x  + y  + x  + x y

> r:=simplify(subs(t=tan(u),x(t)/cos(u)));# Equation polaire

                                       2
                               2 cos(u)  - 1
                          r := -------------
                                  cos(u)


> corde:=proc(s,t)
> [x(t)-x(s),y(t)-y(s)];
> end;

          corde := proc(s, t) [x(t) - x(s), y(t) - y(s)] end

> a:=matrix(2,2,[corde(t1,t2),corde(t1,t3)]);

            [      2         2              2              2 ]
            [1 - t2    1 - t1     t2 (1 - t2 )   t1 (1 - t1 )]
            [------- - -------    ------------ - ------------]
            [      2         2            2              2   ]
            [1 + t2    1 + t1       1 + t2         1 + t1    ]
       a := [                                                ]
            [      2         2              2              2 ]
            [1 - t3    1 - t1     t3 (1 - t3 )   t1 (1 - t1 )]
            [------- - -------    ------------ - ------------]
            [      2         2            2              2   ]
            [1 + t3    1 + t1       1 + t3         1 + t1    ]

> cond:=op(2,det(a));# Les points sont alignés ssi les cordes forment une famille liée

            2   3     2   3     3   2        2        2     3   2
  cond := t3  t1  - t2  t1  - t3  t1  - t2 t1  + t3 t1  + t2  t1

                2        2     2        2   3        2     3   2
         - t1 t3  + t1 t2  - t2  t3 + t2  t3  + t2 t3  - t2  t3


> cond1:=factor(subs(t3=0,cond));# A est le point de paramètre t3=0

                cond1 := t2 t1 (t2 t1 + 1) (-t1 + t2)

> assume(t,real):# donc M et M' sont de paramètres t1=t et t2=-1/t
> ray:=simplify((norm(corde(t,-1/t),2))/2);# Rayon du cercle

                                   2          2
                     signum(-1 + t~ ) (-1 + t~ ) signum(t~)
          ray := 1/2 --------------------------------------
                                       t~

> centre:=[(x(t)+x(-1/t))/2,(y(t)+y(-1/t))/2];

                                    1
                               1 - ---
                       2             2
                 1 - t~            t~
  centre := [1/2 ------- + 1/2 -------,
                       2            1
                 1 + t~        1 + ---
                                     2
                                   t~

                                      1
                                 1 - ---
                      2                2
            t~ (1 - t~ )             t~
        1/2 ------------ - 1/2 ------------]
                    2             /     1 \
              1 + t~           t~ |1 + ---|
                                  |      2|
                                  \    t~ /

> simplify(norm(centre,2)-ray);

                                  0

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