O14-050
> restart;
> f:=x+y-(x^2+y^2+a*y);ff:=(x,y)->x+y-(x^2+y^2+1/2*y);

                                    2    2
                      f := x + y - x  - y  - a y


                                              2    2
                 ff := (x, y) -> x + 1/2 y - x  - y

> h:= proc(x) 1-x  end:
> plot3d(ff,0..1,0..h);

> #Non, la fonction n'est pas à valeurs dans R+!

> #Par continuité sur un compact, il existe un max et un min sur le triangle fermé
> ptcritique:={diff(f,x),diff(f,y)};

                 ptcritique := {1 - 2 x, 1 - 2 y - a}

> pc:=solve(ptcritique,{x,y});n0:=expand(subs(pc,f));

                   pc := {x = 1/2, y = 1/2 - 1/2 a}


                                               2
                      n0 := 1/2 - 1/2 a + 1/4 a

> #Si a>=1, pc n'est pas dans le triangle.
> bord1:=subs(x=0,f);bord2:=subs(y=0,f);bord3:=expand(subs(y=1-x,f));

                                      2
                        bord1 := y - y  - a y


                                         2
                           bord2 := x - x


                                 2
                    bord3 := -2 x  + 2 x - a + a x

> m1:=solve(diff(bord1,y),y);m2:=solve(diff(bord2,x),x);m3:=solve(diff(bord3,x),x);n1:=expand(subs({x=0,y=m1},f));n2:=subs({y=0,x=m2},f);n3:=expand(subs({x=m3,y=1-m3},f));solve(n3-1/4);

                          m1 := 1/2 - 1/2 a


                              m2 := 1/2


                          m3 := 1/2 + 1/4 a


                                               2
                      n1 := 1/4 - 1/2 a + 1/4 a


                              n2 := 1/4


                                               2
                      n3 := 1/2 - 1/2 a + 1/8 a


                       2 + sqrt(2), 2 - sqrt(2)


                                 1, 1

> #Si a>2 : m1<0 et m3>1 ne sont pas dans le domaine et f(0,0)=0, f(m2,0)=1/4,f(1,0)=0 : max =1/4 sur le triangle fermé
> #Si 1<a<=2 : m1<0 et f(0,0)=0, f(m2,0)=1/4, n3 := 1/2-1/2*a+1/8*a^2<0 : max=1/4 sur le triangle fermé
> #Si a<=1 : n1<n0, n3<n0, n2<n0 : max=n0 atteint au point critique