> restart;
O14-048
> f:=x^2*y^2*exp(4-x-y);

                            2  2
                      f := x  y  exp(4 - x - y)

> with(plots):implicitplot(f-9,x=0..5,y=0..5);

> g:=subs({x=(x1-y1)/sqrt(2),y=(x1+y1)/sqrt(2)},f-9);# On prend le repère ON ayant pour axes les bissectrices
> 

                    2          2
  g := 1/4 (x1 - y1)  (x1 + y1)

        exp(4 - 1/2 (x1 - y1) sqrt(2) - 1/2 (x1 + y1) sqrt(2)) - 9

> gg:=subs(y1=sqrt(yy1),g);ss:=solve(gg,yy1);# On cherche y_1^2 en fonction de x_1

                            2                 2
  gg := 1/4 (x1 - sqrt(yy1))  (x1 + sqrt(yy1))  exp(4

         - 1/2 (x1 - sqrt(yy1)) sqrt(2)

         - 1/2 (x1 + sqrt(yy1)) sqrt(2)) - 9


                      2                           2
               2 %1 x1  + 12 sqrt(%1)      2 %1 x1  - 12 sqrt(%1)
     ss := 1/2 ----------------------, 1/2 ----------------------
                         %1                          %1

                        %1 := exp(4 - sqrt(2) x1)

> # (x_1=2*sqrt(2),y=-sqrt(2)) est sur la courbe, donc on choisit la 2ème valeur
> h:=sqrt(ss[2]);# ie h=y_1 exprimé au moyen de x_1

  h := 1/2 sqrt(2) sqrt(

                                2
        2 exp(4 - sqrt(2) x1) x1  - 12 sqrt(exp(4 - sqrt(2) x1))
        --------------------------------------------------------)
                          exp(4 - sqrt(2) x1)

> plot(h,x1=1..5,scaling=constrained);# La demi-courbe supérieure dans le nouveau repère

> zeros:=evalf(solve(h));a:=zeros[3];b:=zeros[2];

           zeros := -.7028480378, 4.627999878, 1.569587044


                           a := 1.569587044


                           b := 4.627999878


> # On constate dx1/dt=2y1, donc dt=1/2.dx1/y1. Soit T le temps mis à parcourir un cycle
> T:=int(1/h,x1=a..b);

          4.627999878
         /
        |
  T :=  |             sqrt(2)/sqrt(
        |
       /
         1.569587044

                                2
        2 exp(4 - sqrt(2) x1) x1  - 12 sqrt(exp(4 - sqrt(2) x1))
        --------------------------------------------------------) dx1
                          exp(4 - sqrt(2) x1)

> # x1M=x1 moyen au cours d'un 1/2-cycle=2/T.int(x1(t).dt,t=0..T)=1/T.int(x1.dx1/y1) en changeant de variable :
> x1M:=evalf(int(x1/h,x1=a..b)/T);

                          x1M := 2.800393885


>