> restart;
> g:=(t^2)/(t^2+(sin(t))^2);

                                     2
                                    t
                          g := ------------
                                2         2
                               t  + sin(t)

> f:=x->x-int(g,t=x..2*x);

                                       2 x
                                      /
                                     |
                      f := x -> x -  |     g dt
                                     |
                                    /
                                      x

> fprime:=diff(f(x),x);solve(fprime);

                                   2                2
                                  x                x
           fprime := 1 - 8 ---------------- + ------------
                              2           2    2         2
                           4 x  + sin(2 x)    x  + sin(x)


                               0, Pi, 0

> fsolve(fprime,x,.5..1);fsolve(fprime,x,2..3);fsolve(fprime,x,3..4);#(pour trouver les solutions que solve n'a pas données)

                             .9230138334


                             2.333274333


                             3.935061544

> fseconde:=diff(fprime,x);solve(fseconde);

                                        2
                         x             x  (8 x + 4 sin(2 x) cos(2 x))
  fseconde := -16 ---------------- + 8 ------------------------------
                     2           2              2           2 2
                  4 x  + sin(2 x)           (4 x  + sin(2 x) )

                             2
                  x         x  (2 x + 2 sin(x) cos(x))
         + 2 ------------ - --------------------------
              2         2          2         2 2
             x  + sin(x)         (x  + sin(x) )


                               0, Pi, 0

> series(f(x),x=0);

                                     3      5
                       1/2 x - 7/36 x  + O(x )

donc pour x=0, point ordinaire de tangente y=x/2, pour x=k Pi (k<>0), des inflexions à tangentes horizontales et pour les autres racines de fprime, des extrema locaux.
Le changt de variable t=xu donne f(x)=(1/x).int(sin^2(x^2u^2)/(u^2+...),u=1..2) puis on peut majorer par  (1/x).int(1/(u^2),u=1..2) ce qui donne lim f=0 en l'infini. 
> plot(f(x),x=-10..10);

>