O10-900
Toute base qui diagonalise B diagonalise aussi A.
Soit BO une base qui diagonalise A. Elle est adaptée à la somme (directe orthogonale) des sev propres El(A) de uA.
El est stable par uB (uA et uB commutent)
uB induit sur El(A) un endomorphisme symétrique positif de carré l.Id, donc c'est sqrt(l).Id, et ceci sur chaque El(A), donc BO diagonalise aussi B.
> restart;
> with(linalg):
> a:=matrix(3,3,[4,1,1,1,4,1,1,1,4]);

                               [4    1    1]
                               [           ]
                          a := [1    4    1]
                               [           ]
                               [1    1    4]

> da:=jordan(a,'p');

                               [3    0    0]
                               [           ]
                         da := [0    6    0]
                               [           ]
                               [0    0    3]

> db:=diag(sqrt(3),sqrt(6),sqrt(3));

                      [sqrt(3)       0          0   ]
                      [                             ]
                db := [   0       sqrt(6)       0   ]
                      [                             ]
                      [   0          0       sqrt(3)]

> b:=evalm(p&*db&*inverse(p));

                   [2/3 sqrt(3) + 1/3 sqrt(6) , %1 , %1]
                   [                                   ]
              b := [%1 , 2/3 sqrt(3) + 1/3 sqrt(6) , %1]
                   [                                   ]
                   [%1 , %1 , 2/3 sqrt(3) + 1/3 sqrt(6)]

                    %1 := - 1/3 sqrt(3) + 1/3 sqrt(6)

> simplify(evalm(b^2));

                            [4    1    1]
                            [           ]
                            [1    4    1]
                            [           ]
                            [1    1    4]