O10-099
> restart;
> a:=1/(1+t^2+t^4);

                                     1
                           a := -----------
                                     2    4
                                1 + t  + t

> b:=x->int(a,t=-infinity..x);

                                   x
                                  /
                                 |
                      b := x ->  |          a dt
                                 |
                                /
                                  -infinity

> bb:=b(0);

                         bb := 1/6 sqrt(3) Pi

> b(x);

            2
  - 1/4 ln(x  - x + 1) + 1/6 sqrt(3) arctan(1/3 (2 x - 1) sqrt(3))

                           2
         + 1/4 ln(1 + x + x )

         + 1/6 sqrt(3) arctan(1/3 (1 + 2 x) sqrt(3)) + 1/6 sqrt(3) Pi

> c:=n->x^(6*n+1)/(6*n+1)-x^(6*n+3)/(6*n+3);# f(x)=f(0)+g(x) où g est la primitive nulle en 0 de x->(1-x^2)/(1-x^6) donc admet un DSE de rayon 1, et on intègre terme à terme

                             (6 n + 1)    (6 n + 3)
                            x            x
                  c := n -> ---------- - ----------
                             6 n + 1      6 n + 3

> d:=bb+sum(c(n),n=0..infinity);

                                  3
  d := 1/6 sqrt(3) Pi + (x - 1/3 x ) hypergeom(

                      2                        2
              -9 + 7 x                   -3 + x           6
        [1/6, ---------, 1, 1/2], [3/2, ---------, 7/6], x )
                      2                         2
              -6 + 6 x                  -6 + 6 x

> e:=plot(b(x),x=-.5...5,color=green):
> f:=plot(d,x=-.5...5,color=red):
> with(plots):display([f,e]);

>